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立足基础知识提高思维层次
　　　　　　 ——谈解析几何的复习

　　解析几何在中学数学中有着重要的地位，近几年的高考数学试卷都有恰如其分的体现。高考选择题，填空题中的解析几何题大多概念性较强，小巧、灵活，思维多于计算。解答题则立意新颖，不落俗套，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
　　以下就解析几何的复习提几点建议。

　　1．牢固掌握圆锥曲线定义
　　圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性，是构建有关知识网络的基础。同时，定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。

　　例1．点F是椭圆=1的左焦点，点P(-2,)在椭圆内，点M在椭圆上，求使|PM|+2|MF|取最小值的点M的坐标。

　　分析：直接应用距离公式难以奏效，而根据椭圆第二定义，将|MF|用点M到左准线的距离来表示，问题容易得解。（解略）。

　　例2．如图1，直线l₁⊥l₂，垂足为M，点N在l₁上，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等。若ΔAMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：由定义知曲线段C是以N为焦点，l₂为准线的抛物线的一段，以l₁为x轴，MN的中垂线为y轴建立坐标系，则可设曲线段C所在的抛物线方程为y²=2px(p>0)。
　　由|AM|= |AN|=3，易得p=4，x_A=1，又由|BN|=6，得x_B=4，
　　∴ 曲线段C的方程为y²=8x (1≤x≤4，y>0)。
　　涉及曲线上的点到定点的距离和到定直线的距离或曲线上的点到两个定点的距离之和（差）的问题，可考虑用定义解。

　　2．重视基础知识，基本题型的复习
　　（1）注意课本典型例题、习题的延伸
　　教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。

　　如教材中题:“过抛物线y²=2px焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y₁,y₂，求证y₁y₂=-p²。”
给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质，而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。

　　例3.设抛物线y²=2px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，且BC//x轴。证明直线AC经过原点O。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，由BC//x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为(-,y₂)。要证直线AC经过原点O，只需证明k_OC=k_OA，k_OA=，k_OC=,下面的问题是如何将两者联系起来，这只要重复上述课本习题的解答过程，得y₁y₂=-p²，即可得=，又=2px₁，∴=，命题即得证。

　　（2）注意转化条件，优化解题方法
　　解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。

　　例4．设过原点的直线l与抛物线y²=4(x-1)相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过抛物线的焦点F，求直线l的方程。

　　分析：以线段AB为直径的圆的方程不易求出，所以将“以线段AB为直径的圆经过焦点F”转化成等价条件
“AF⊥BF”即可解决。
　　略解：设直线l：y=kx (k≠0)，A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，
　　由，得k²x²-4x+4=0，
　　令Δ>0，得-1<k<1，且k≠0。
　　由题意AF⊥BF，又F(2,0)，∴ ·=-1。
　　再由韦达定理，可得k=±，∴ l：y=±x。

　　例5.已知直线l：y=mx+b (|m|<1)与圆x²+y²=1相交于P，Q两点，与双曲线x²-y²=1相交于R，S两点，且|RP|=|PQ|=|QS|，求m,b的值。

　　分析：RP，QS都是直线l被不同的曲线截得的线段，其长度不易求出，而条件“|RP|=|PQ|=|QS|”与“RS和PQ的中点重合，且|RS|=3|PQ|”等价，问题就转化为求圆锥曲线截直线所得弦的中点和弦长的计算了（解略）。

　　例6．已知椭圆+y²=1，点A是下顶点，直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于M，N两点，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。

　　分析：“|AM|=|AN|”即“点A在MN的中垂线上”。
　　略解：设MN的中点为P，由，得(3k²+1)x²+6mkx+3(m²-1)=0,
　　当Δ>0，得m²<3k²+1.......①
　　x_p=，y_p=，由题意，MN⊥AP，
　　∴ ，∴ 2m=3k²+1.....②
　　②代入①得2m>m²，∴ 0<m<2。
　　又由②，k²=>0，∴ m>，∴ m的取值范围为(,2)。

　　3．重视判别式的作用
　　有关直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常都是利用一元二次方程来解决的。其中，根的判别式往往起着关键的作用。
　　例7．已知双曲线x²-y²=4，是否存在直线l,使l被双曲线截得的线段的中点为M(1,-)?
　　分析：设l：y+=k(x-1),(k≠±1)，即y=kx-(k+)，代入x²-y²=4，
　　得(1-k²)x²+2k(k+)x-(k²+k+)=0.........(*)
　　由韦达定理，得=1，∴ k=-2，但k=-2时，方程（*）中Δ<0.
　　故不存在符合题意的直线l。
　　本题若不注意运用根的判别式进行检验，则极易得出错误的结论。通过图象也可知道过点M(1,-)且斜率为-2的直线与双曲线x²-y²=4无交点，但这只不过是“Δ<0”的几何反映。若用“点差法”解题，检验工作同样是必须的。
　　根的判别式也常常在求参数的取值范围中发挥重要的作用。利用判别式的符号对参数加以限制，进而求出参数的范围，前面的例6就是一个典型例子。

　　例8．已知抛物线y=x²-1上一定点B(-1,0)和两个动点P，Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，求Q点的横坐标的取值范围。
　　略解：设P(x₁,y₁)(x₁≠-1)，Q(x₂,y₂)，由BP⊥PQ，得·=-1。
　　∵ y₁=-1，y₂=-1,
　　∴ +(x₂-1)x₁+(1-x₂)=0.......(*)
　　关于x₁的二次方程（*）有实根，∴ Δ=(x₂-1)²-4(1-x₂)≥0，
　　∴ x₂≤-3或x₂≥1，又x₁≠-1，∴ x₂≠，
　　∴ x₂∈(-∞,-3)∪∪(,+∞)。

　　4．强化数学思想方法的训练和运用
　　（1）函数与方程思想
　　解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。

　　例9．过点P(-,0)作直线l与椭圆=1相交于A，B两点，O为坐标原点，求ΔOAB的面积的最大值。

　　分析：设l：x=my-，代入椭圆方程得(3m²+4)y²-6my-3=0，
　　设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，建立目标函数S=··|y₁-y₂|=6。
　　要求函数t=的最大值，常用以下两种方法：

　　方法1：利用二次函数：
　　t==-3()²+,
　　当m=±时，t_max=。

　　方法2：利用不等式性质
　　t=,
　　当m=±时，t_max=。
　　从而S_max=。

　　（2）分类讨论思想
　　解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。例9中，若设直线l：y=k(x+)，则必须另外考虑l⊥x轴的情形。两直线l₁,l₂所成角的正切公式tanα=||只有当l₁与l₂不垂直，且都有斜率时才适用。又如圆锥曲线的离心率的变化对曲线类型的影响，以及更一般的含参数曲线方程的讨论，距离、面积等最值问题的讨论等等，都要运用分类讨论思想去解决。

　　（3）数形结合思想
　　解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。
　　例10．求过点M(3,-2)且与圆x²+y²-4x-2y+4=0相切的直线l的方程。
　　分析：圆方程可化为(x-2)²+(y-1)²=1，设l：y=k(x-3)-2，
　　则l与圆心(2,1)的距离为=1，
　　即(k+3)²=k²+1，∴ 6k+9=1 .....①
　　k=-，∴ l的方程为4x+3y-6=0。
　　注意到一次方程①是由二次方程退化而得，故立即想到问题可能失去一解（与x轴垂直的直线），经检验知直线x=3也合题意。
　　若将点M的坐标改为(,1+)，l：y=k(x-)+1+，则=1，
　　得3k²-2k+1=0.......②
　　∴ k=，切线l：x-y+=0。
　　同样由方程得到一解，但由方程②得到两个等根，故可推断出点(,1+)应在已知圆上，问题只有一解。
　　若给出的点M在圆内，则相应的方程必定无实根。
　　解析几何题综合性强，对思维能力和运算能力要求较高，这就要求养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算，指导自己的复习。