北 京 四 中

　　1．给定四条曲线：①x²+y²=，②=1，③x²+=1，④+y²=1，其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是（ ）。
　　A、①②③　　 B、②③④　　 C、①②④　　 D、①③④

　　解：曲线①的圆心到直线x+y-=0的距离等于圆半径可知它们相切，即有一个公共点；
　　曲线②、③方程与直线方程联立，消去一元，得到一元二次方程的判别式，前者Δ≠0，后者Δ=0，所以直线与曲线③仅有一个公共点，∴ 应选D。
　　评注：当判断曲线①为所求后，可用筛选法，有曲线③必有曲线④，那么只有D正确。

　　2．若椭圆经过原点，且焦点为F₁(1,0)，F₂(3,0)，则其离心率为：
　　A、　　B、　　C、　　D、
　　解：画出草图，不难得椭圆中a=2，c=1, ∴e=, 应选C。
　　3．椭圆=1的焦点为F₁，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（　 ）。
　　A、±　　B、±　　C、±　　D、±

　　解：由a²=12, b²=3，得c²=a²-b²=9，不妨设F₁(3,0),F₂(-3,0)，设P点坐标为(x,y)，
　　∵ PF₁的中点M在y轴上，F₁F₂的中点为O，∴ MO//PF₂，即PF₂⊥x轴。
　　∴ x_p=-3, 代入=1，得y=±, ∴ M点的纵坐标是±。
　　应选A。

　　4．设双曲线=1 (0<a<b)的半焦距为C，直线l过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（　 ）。
　　A、2　　B、　　C、　　D、
　　解：∵ 直线l过(a,0),(0,b), ∴ l的方程为=1，即bx+ay-ab=0, 　
　　∵ 原点(0,0)到l的距离为c，
　　由点到直线的距离公式，得，又0<a<b，双曲线中c²=a²+b²,
　　∴
　　整理得a²-4ab+b²=0, b=a，
　　∴ c²=a²+b²=4a², c=2a, e==2,
　　应选A。

　　5．如果抛物线y²=a(x+1)的准线方程是x=-3，那么这条抛物线的焦点坐标是（　 ）。
　　A、(3,0)　　B、(2,0)　C、(1,0)　　D、(-1,0)

　　解：y²=a(x+1)的准线方程为x+1=-,
　　由已知x=-3是准线方程，∴ -3+1=-, 得a=8，
　　抛物线方程为y²=8(x+1)，应选C。

　　6．椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是(0,2)，那么k=_________。

　　解：椭圆a²=, b²=1, c=2,
　　∵ c²=a²-b²，即-1=4，∴ k=1，∴ 应填1。

　　7．椭圆=1的焦点为F₁、F₂，点P为其上的动点。当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________。

　　解：先求∠F₁PF₂为直角时，点P的横坐标，
　　∵ 椭圆焦点F₁(-,0)，F₂(5,0)，设椭圆上点P(x₀,y₀)，
　　则依=-1，得，代入椭圆方程，得x₀=±,
　　∴ 答案是-<x<。

　　8．双曲线=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为________。

　　解：依双曲线方程得F₁(-5,0)，F₂(5,0)，设点P(x₀,y₀)，
　　∵ PF₁⊥PF₂，则=-1，即x₀²=25-y₀²，代入双曲线方程，得y₀=±,
　　∴ 答案是。

　　9．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________。

　　解：由a²=9, b²=16, 得c²=25，
　　设双曲线的一个顶点为A，不妨设A(3,0)，双曲线的两焦点为F₁(-5,0)，F₂(5,0)。
　　若圆过A，F₁，则圆心应在线段AF₁的垂直平分线x==-1上，但x=-1和双曲线无交点，此与圆心在双曲线上矛盾。
　　∴ 圆过A，F₂，圆心在x==4上，
　　把x=4代入=1，得y=±，即圆心坐标为(4,±)，
　　又双曲线的中心坐标为(0,0)，∴ d=为所求。

　　10．双曲线2mx²-my²=2的一条准线是y=1，则m=_______。

　　解：2mx²-my²=2=1，由准线是y=1知，双曲线的实轴在y轴，
　　∴ a²=-, b²=-, c²=-，
　　由1=，得m=-。

　　11．已知直线x-y=2与抛物线y²=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________。

　　解：将y=x-2代入y²=4x, 得(x-2)²=4x, 即x²-8x+4=0.............(1)
　　设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，则x₁,x₂为方程(1)的两根，所以x₁+x₂=8, x₁·x₂=4，
　　∴ =4, =2,
　　∴ 线段AB中点坐标是(4,2)。

　　12．已知点(-2,3)与抛物线y²=2px(p>0) 的焦点的距离是5，则p=______。

　　解：y²=2px的焦点坐标是(,0), ∴ 5=, 解出p=4。

　　13．已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线y²=2px (p>0)的准线相切，则p=_______。

　　解：由已知得，圆心坐标为(3,0)，r=4，抛物线的准线方程为x=-。
　　∵ 圆与抛物线的准线相切，
　　∴ (3,0)到直线x=-的距离等于圆半径r=4,
　　即4=3+, 得p=2。